Aljabar | Bentuk Aljabar, Rumus Aljabar, dan Operasi Aljabar

14

A. Pengertian Aljabar atau Algebra

Aljabar adalah bagian dari ilmu matematika meliputi teori bilangan, geometri, dan analisis penyelesaiannya. Secara harfiah, aljabar berasal dari bahasa arab yaitu الجبر‎ atau yang dibaca "al-jabr". Ilmu ini dibuat oleh Muḥammad ibn Mūsā al-Khwārizmī dalam bukunya mengenai konsep dan bentuk aljabar ditulis sekitar tahun 820, yang merupakan seorang matematikawan, astronomer, dan geograf. Ia dijuluki sebagai "The Father of Algebra". Dalam bahasa inggris, aljabar dikenal dengan istilah "algebra". 

Navigasi Cepat:

B. Bentuk Aljabar

  1. Rumus Persamaan
  2. Variabel (Peubah)
  3. Koefisien (Coefficient)
  4. Konstanta (Constant)
  5. Eksponen (Pangkat)
  6. Derajat
  7. Suku

C. Operasi Aljabar

  1. Penjumlahan dan Pengurangan Aljabar
  2. Perkalian Aljabar
  3. Pembagian Aljabar
  4. Perpangkatan Aljabar

B. Bentuk Aljabar dan Rumus Aljabar Dasar

Bentuk aljabar adalah teknik yang digunakan untuk menyajikan suatu masalah matematika dengan simbol atau huruf sebagai peubah suatu objek dalam masalah tersebut. Terdapat 7 istilah umum yang perlu diketahui untuk memahami bentuk suatu aljabar dasar, yaitu:

Konstanta pada aljabar
Contoh bentuk aljabar
  1. Rumus Persamaan

    Persamaan adalah suatu teknik matematika yang digunakan untuk menyamakan suatu permasalahan ke bentuk matematika dengan tanda persamaan atau sama dengan (=). Bentuk ini dapat berupa bentuk yang paling sederhana hingga kompleks. Persamaan dapat digunakan untuk membentuk suatu rumus matematika terhadap suatu masalah.

    Contoh:

    Masalah:
    Jumlah kelereng Xeon dan Yuni adalah 10 buah. Jika kelereng yuni sebanyak 3 buah, berapa jumlah kelereng Xeon?
    
    Diketahui:
    Ubah Kelereng Yuni menjadi variabel y 
    Ubah kelereng Xeon menjadi variabel x
    
    y = 3, maka nilai y adalah 3
    x + y = 10
    
    Catatan: x + y = 10 merupakan persamaan matematika dari jumlah kelereng Xeon dan Yuni
    
    Ditanya:
    berapakah nilai x?
    
    Penyelesaian:
    x + y = 10
    x = 10 - y
    
    Pada dasarnya untuk memindahkan suatu nilai ke ruas lain, sama artinya dengan menghilangkan nilai tersebut di ruas asal. Berikut penjelasannya untuk kasus di atas.
        x + y = 10
    x + y - y = 10 - y
            x = 10 - y
    
    Sehingga, untuk mempercepat perhitungan dapat langsung menulis lawan nilai yang dipindahkan.
    x + y = 10 
    x = 10 - y
    
    Diketahui nilai y = 3, diperoleh
    x = 10 - 3
      = 7
    
    Karena nilai x = 7
    Jadi, kelereng Xeon berjumlah 7 buah
  2. Variabel (Peubah)

    Variabel adalah suatu simbol atau huruf yang digunakan untuk menggantikan suatu nilai yang bersifat tidak tetap (berubah-ubah tergantung persamaan yang memuatnya). Variabel dalam bahasa inggris disebut dengan "variable" (dieja ˈve(ə)rēəbəl) , dan juga disebut "peubah" dalam bahasa Indonesia. Variabel dapat disimbolkan dengan huruf latin (a, A, b, B, c, D, dst).

    variabel pada aljabar

    Pada persamaan tersebut, terdapat 3 variabel yaitu x, y, dan z.

  3. Koefisien (Coefficient)

    Koefisien adalah nilai yang digunakan untuk mengalikan suatu variabel. Koefisien dalam bahasa inggris disebut dengan "coefficient". Nilai koefisien = 1 dapat tidak ditulis.

    koefisien pada aljabar matematika

    3.1 Menghitung variabel dengan koefisien

    Suatu persamaan 3x = 12, berapakah nilai variabel x?
    
    Penyelesaian:
    
    3x = 12
    3 * x = 12
    x = 12/3 = 4 
    Catatan: perpindahan koefisien suatu ruas = membagi ruas lain dengan nilai koefisien tersebut
    Jadi, variabel x = 4

    3.2 Menghitung variabel dengan koefisien pada persamaan

    Menghitung nilai koefisien menjadi lebih kompleks saat ia berada pada suatu persamaan

    menghitung variabel pada suatu persamaan

    Untuk menyelesaikan solusi variabel x dapat diperoleh dengan memisahkan semua objek selain x keruas kanan, berikut:

    menghitung variabel x pada suatu persamaan

    Untuk menyelesaikan solusi variabel y dapat diperoleh dengan memisahkan semua objek selain y keruas kanan, berikut:

    menghitung variabel y pada suatu persamaan

  4. Konstanta (Constant)

    Konstanta adalah suatu nilai yang bersifat tetap (constant) pada suatu bentuk aljabar. Konstanta dalam bahasa inggris disebut dengan "constant". Ciri-ciri yang paling umum suatu konstanta yaitu tidak berikatan dengan suatu variabel. Untuk rumus-rumus khusus, konstanta dapat disimbolkan dengan huruf (misalnya: a, b, lainnya) atau berupa simbol khusus.

    4.1 Contoh konstanta pada persamaan umum

    Konstanta pada aljabar

    4.2 Contoh konstanta pada rumus khusus

    Suatu konstanta pada rumus-rumus khusus disimbolkan dengan nilai tertentu, misalnya rumus keliling lingkaran:

    Konstanta pada suatu rumus

  5. Eksponen (Pangkat)

    Suatu variabel dalam suatu bentuk aljabar dapat memuat pangkat (eksponen). Operasi pangkat mempunyai prioritas kedua sejajar dengan operasi akar setelah tanda kurung dalam operasi hitung matematika.

    eksponen pada aljabar

    Misalnya nilai adalah 4, maka dapat dihitung nilai sebagai berikut:

    Menghitung eksponen pada bentuk aljabar

    Baca juga: Cara Menghitung Perpangkatan Bilangan dan Sifatnya

  6. Derajat

    Derajat pada suatu bentuk aljabar adalah nilai pangkat tertinggi yang dimuat variabel bentuk aljabar, berikut contohnya:

    Bentuk Aljabar Derajat
    3x 1
    3x2 + 1 2
    3x2 + 2x + 1 2
    4x4 + 2y2 + 1 4
    5x6 + y 6
  7. Suku 

    Suku pada bentuk aljabar adalah total elemen yang dimuat oleh suatu bentuk aljabar. Suku digunakan untuk mempermudah mengkomunikasikan bentuk aljabar sehingga mudah untuk dibahasakan, berikut contohnya:

    Aljabar s1 s2 s3 s4 suku
    2x 2x - - - 1
    2x+1 2x 1 - - 2
    3x2+2x-1 3x2 2x 1 - 3
    4x3+3x2+2x-1 4x3 3x2 2x 1 4
    dan lainnya ... ... ... ... ...

    Suku-suku bentuk aljabar dibedakan menjadi suku sejenis dan suku tak sejenis:

    7.1 Suku Sejenis 

    Suku sejenis adalah suku-suku yang mempunyai variabel dengan pangkat yang sama.

    a) x, 2x, 3x, 4x, dan lain-lain.

    b)  xy3, 2xy3, 8xy3, dan lain-lain.

    7.2 Suku Tak Sejenis

    Suku tidak sejenis adalah suku-suku yang tidak mempunyai variabel yang sama.

    a) 2x, 2y, 3z, 4w, dan lain-lain.

    b) 8xy3, 3xy, dan lain-lain.


C. Operasi Aljabar

Operasi aljabar pada umumnya hampir sama dengan operasi hitung bilangan bulat.

Baca juga: Operasi Hitung Bilangan dan Urutannya

C1. Operasi Penjumlahan dan Pengurangan Aljabar

Operasi penjumlahan dan pengurangan aljabar hanya dapat dilakukan pada suku-suku sejenis.

Contoh 1: Menyederhanakan aljabar

Sederhanakan bentuk aljabar 2x + 3y + 7x - 2y?

Penyelesaian:

# urutkan suku-suku yang sejenis

2x + 3y + 7x - 2y 
= 2x + 7x + 3y - 2y
= (2x + 7x) + (3y - 2y)
= 9x - y

Jadi, bentuk sederhana dari 2x + 3y + 7x - 2y adalah 9x - y

C2. Operasi Perkalian Aljabar

Contoh 1: Perkalian dengan konstanta

Perkalian dengan konstanta dilakukan dengan mengalikan nilai koefisien masing-masing variabel yang dioperasikan.

  • 2y × 3 = 6y
  • (3y + x) × 4 
    = (3y × 4) + (x × 4) 
    = 12y + 4x
  • 3yz × 7 = 21yz

Contoh 2: Perkalian dengan variabel

perkalian dengan variabel dilakukan secara menyeluruh, baik koefisien maupun variabelnya.

  • y × y = y2
  • x2 × x 
    = x2 + 1 
    = x3
  • 2yz × y = 2y2z
  • (2x + 1) y 
    = (2x × y) + (1 × y) 
    = 2xy + y

C3. Operasi Pembagian Aljabar

Untuk mempermudah operasi pembagian aljabar, dilakukan dengan cara mengubah ke bentuk pecahan.

Contoh 1: Pembagian variabel dengan konstanta

Contoh pembagian aljabar

Contoh 2: Pembagian variabel dengan variabel

Contoh pembagian aljabar 2

Contoh 3: Pembagian variabel dengan variabel yang lebih kompleks

Contoh pembagian aljabar 3

C4. Operasi Perpangkatan Aljabar

Contoh 1:

Contoh perpangkatan aljabar

Tutorial lainnya: Daftar Isi Pelajaran Matematika


Sekian artikel “Aljabar | Bentuk Aljabar, Rumus Aljabar, dan Operasi Aljabar“. Nantikan artikel menarik lainnya dan mohon kesediaannya untuk share dan juga menyukai halaman Advernesia. Terima kasih ...

14 KOMENTAR

    • Hai, kak Hidayat operasi ÷× tidak bisa bisa dihitung...
      Bisa kirim ulang soal yang benar?

    • Hai Reza, itu sebenarnya terjadi penyederhanaan bentuk aljabar pecahan
      x2y/x = xy
      Secara dasar menggunakan operasi pembagian berpangkat
      (x2y) : x
      x2 * y * x -1 =
      (berlaku sifat komutatif pada perkalian)
      x2-1 * y = xy
      Semoga membantu 🙂

    • Hai Muhammad Ekky,
      Untuk No.1 Penulisan dapat bersifat ambigu

      4x+ 1/4x = 4.25x atau 41/4x
      4x + 1/4x = Sederhana
      

      untuk No.2

      (2x+3y)^2-3(x-4y)^2 
      = (4x^2 + 12xy + 9y^2) + (-3(x - 4y)^2) )
      = (4x^2 + 12xy + 9y^2) + (- 3x^2 + 24xy - 48y^2 )
      = 4x^2 + 12xy + 9y^2 - 3x^2 + 24xy - 48y^2)
      = x^2 + 36xy - 39y^2
      

      Semoga membantu 🙂

  1. Pak Beny membeli 3 botol bensin untuk mengisi tangki motornya . Ternyata tangki motornya belum penuh, kemudian Pak Beny membeli lagi 2 liter. Tulislah bentuk aljabar banyaknya bensin yang sudah dibeli Pak Beny !

    • Hai Kak Dimas,
      Persoalan tersebut dapat dijabarkan sebagai
      3 botol + 2 liter = 1 tangki
      atau dapat ditulis
      3b + 2l = 1t
      Semoga membantu 🙂

    • Hai, Kak Yulilely

      ((3x-2)(y3))2
      =(3x-2y3)2
      =(32x-2×2y3×2)
      =(32x-4y6)
      =32y6/x4 = 9y6/x4 
      

      Semoga Membantu 🙂

AYO BERKOMENTAR

Tulis komentar
Masukkan nama Anda